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Dernière mise à jour le 13/05/2008

Gaz de Lorentz et billard de Sinai : Explications pour non-spécialistes


Plan de la page

LE MODÈLE DU GAZ DE H. LORENTZ
GAZ DE LORENTZ ET THÉORIE DU CHAOS
UNE CERTAINE CONCEPTION DU HASARD
LA QUESTION DE LA RÉCURRENCE DANS LE GAZ DE LORENTZ
LA QUESTION DE L'ERGODICITÉ DANS LE GAZ DE LORENTZ
DES RÉSULTATS QUANTITATIFS LE BILLARD DE SINAI ASSOCIÉ AU GAZ DE LORENTZ


LE MODÈLE DU GAZ DE H. LORENTZ

Pour décrire le mouvements des électrons dans des métaux faiblement conducteurs, H. Lorentz a introduit en 1905 le modèle physique suivant : une particule ponctuelle se déplace à vitesse constante (proche de la vitesse de la lumière) et rebondit sur des obstacles "ronds" répartis de manière périodique dans le plan. Ce modèle est appelé gaz de Lorentz périodique. Voici deux exemples de répartition d'obstacles circulaires dans le plan :

Cas A : Gaz de Lorentz planaire avec un seul obstacle répété périodiquement


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Cas B : Gaz de Lorentz planaire avec deux obstacles répétés périodiquement

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Dans chacun de ces cas, on suppose que les particules ponctuelles se déplacent entre les obstacles selon les règles suivantes :
  • on ne connaît pas précisément la position et la vitesse initiale de la particule, les deux sont aléatoires (par exemple: la position initiale est connue à 1mm près et la direction de la vitesse initiale est connue à un dixième de degré près;
  • la particule va tout droit tant qu'elle ne rencontre pas d'obstacle;
  • la particule se déplace toujours à la même vitesse : elle n'est ni accélérée, ni ralentie;
  • À l'instant d'un choc, conformément à la loi classique de Descartes, l'angle réfléchi est égal à l'angle incident.
Mathématiquement, le cas A (avec un seul obstacle) est plus difficile que le cas B (avec deux obstacles) car dans le cas A, on peut constuire des trajectoires qui ne rencontrent jamais d'obstacle.

GAZ DE LORENTZ ET THÉORIE DU CHAOS

Le gaz de Lorentz a un comportement chaotique. Deux particules peuvent partir avec des positions et des directions arbitrairement proches et s'éloigner exponentiellement vite l'une de l'autre, puis se comporter asymptotiquement comme deux suites de variables aléatoires indépendantes l'une de l'autre. Ce comportement chaotique est lié à la forme ronde des obstacles.

UNE CERTAINE CONCEPTION DU HASARD

Ce qui peut paraître paradoxal : si on connaît la position et la vitesse à l'instant initial, on peut calculer de manière explicite la position et la vitesse de la particule à un instant donné mais sur de longs temps, la position et la vitesse de la particule se comportent comme des processus purement aléatoires.
Ainsi, du hasard apparaît dans ce système déterministe. Mais cela n'est pas si rare que cela.
En effet, lorsqu'on lance un dé équilibré à six faces de manière honnête (i.e. sans essayer de tricher), on considère que l'on obtient la face 1 avec probabilité 1 sur 6 et de même pour toutes les autres faces. Cela ne veut pas dire qu'il n'existe pas de formules donnant le résultat de cette expérience. On peut penser qu'il en existe une (dépendant de la position du dé et de sa vitesse à l'instant du lancer, mais aussi des caractéristiques de la table sur laquel on le lance, etc.) Mais quand on lance le dé "naïvement", le résultat du lancer semble bien être l'expression du hasard.

LA QUESTION DE LA RÉCURRENCE DANS LE GAZ DE LORENTZ

  • Question : Le gaz de Lorentz est-il récurrent?
    C'est-à-dire, la particule revient-elle sur l'obstacle de départ?
  • Intuition par des simulations : ????. On ne "voit" pas la particule revenir.
  • Réponse mathématique : Et pourtant OUI (avec probabilité 1.) elle revient (mais après un temps très long).
  • Preuve de ce résultat dans le cas B (deux obstacles) : argument de Jean-Pierre Conze (publié en 1999) ou de K. Schmidt (publié en 1998) que l'on peut appliquer grâce à un théorème limite prouvé par Y. Sinai, L. Bunimovich, N. Chernov en 1981.
  • Preuve de ce résultat dans le cas A (un obstacle) : D. Szász et T. Varjú.

LA QUESTION DE L'ERGODICITÉ DANS LE GAZ DE LORENTZ

  • Question : Le gaz de Lorentz est-il ergodique?
    C'est-à-dire, étant donné un point sur un obstacle et une direction, la particule passera-t-elle près de ce point et avec une direction proche de la direction souhaitée?
  • Réponse mathématique : OUI (avec probabilité 1.)
  • Preuve de ce résultat : N. Simanyi et F. Pène

    DES RÉSULTATS QUANTITATIFS

    Etude du comportement quand t tend vers l'infini de la probabilité p(t) qu'une particule soit au temps 0 dans un ensemble borné E et au temps t dans un ensemble borné F.
    • Dans le cas B (2 obstacles, horizon fini): il existe une constante a telle que p(t)~ a/t quand t tend vers l'infini
      [Résultat obtenu par Dmitry Dolgopyat et Péter Nándori]
    • Dans le cas A (1 obstacle, horizon infini): il existe une constante a telle que p(t)~ a/(t log t) quand t tend vers l'infini
      [Résultat obtenu avec Dalia Terhesiu, pré-publication en 2023]
    Le résultat analogue aux instants de collision avait été montré par Szá et Varjú en 2004 pour le modèle B et en 2007 pour le modèle A.

    LE BILLARD DE SINAI ASSOCIÉ AU GAZ DE LORENTZ

    Pour étudier le gaz de Lorentz, en raison de la répartition périodique obstacles, il est possible et utile d'étudier le comportement d'une particule ponctuelle dans une cellule carrée élémentaire en identifiant en identifiant les côtés opposés :
    • quand la particule sort par la droite, elle revient par la gauche;
    • quand la particule sort par le haut, elle revient par le bas.
    Ce qui nous donne les domaines et les trajectoires suivants :
    photo photo

    Les sytèmes correspondants sont des systèmes billard de Sinai. Ces systèmes ont l'avantage de se limiter à des parties bornées du plan.
    Pour retrouver la position dans le gaz de Lorentz dans le plan, il suffit alors d'ajouter les coordonnées de la case dans laquelle se trouve la particule. Cette remarque fondamentale permet de montrer les résultats mentionnés ci-dessus à l'aide de théorèmes limites pour le billard de Sinai.