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Dernière mise à jour le 13/05/2008

Gaz de Lorentz et billard de Sinai : Explications pour non-spécialistes


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LE MODÈLE DU GAZ DE H. LORENTZ

Pour décrire le mouvements des électrons dans des métaux, H. Lorentz a introduit en 1905 le modèle physique suivant : une particule ponctuelle se déplace entre des objets immobiles. Pour fixer les idées, ces obstacles sont des boules si on raisonne dans l'espace (en dimension 3) ou des disques si on raisonne dans le plan (en dimension 2). Ce modèle est appelé gaz de Lorentz.

Je m'intéresse au gaz de Lorentz périodique dans le plan. Voici deux exemples de répartition d'obstacles circulaires dans le plan :

Cas A : Gaz de Lorentz planaire avec un seul obstacle répété périodiquement


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Cas B : Gaz de Lorentz planaire avec deux obstacles répétés périodiquement

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Dans chacun de ces cas, on suppose que les particules ponctuelles se déplacent entre les obstacles selon les règles suivantes :
  • la particule va tout droit tant qu'elle ne rencontre pas d'obstacle;
  • la particule se déplace toujours à la même vitesse : elle n'est ni accélérée, ni ralentie;
  • À l'instant d'un choc, conformément à la loi classique de Descartes, l'angle réfléchi est égal à l'angle incident.
Mathématiquement, le cas A (avec un seul obstacle) est plus difficile que le cas B (avec deux obstacles) car dans le cas A, on peut constuire des trajectoires qui ne rencontrent jamais d'obstacle.

LA QUESTION DE LA RÉCURRENCE DANS LE GAZ DE LORENTZ

  • Question : Le gaz de Lorentz est-il récurrent?
    C'est-à-dire, la particule revient-elle sur l'obstacle de départ?
  • Intuition par des simulations : ????. On ne "voit" pas la particule revenir.
  • Réponse mathématique : Et pourtant OUI (génériquement) elle revient (mais après un temps très long).
    génériquement signifie : à de rares cas exceptionnels près.
  • Preuve de ce résultat dans le cas B (deux obstacles) : argument de Jean-Pierre Conze ou de K. Schmidt que l'on peut appliquer grâce à un théorème limite prouvé par Y. Sinai, L. Bunimovich, N. Chernov et L.-S.Young.
  • Preuve de ce résultat dans le cas A (un obstacle) : D. Szász et T. Varjú.

LA QUESTION DE L'ERGODICITÉ DANS LE GAZ DE LORENTZ

  • Question : Le gaz de Lorentz est-il ergodique?
    C'est-à-dire, étant donné un point sur un obstacle et une direction, la particule passera-t-elle près de ce point et avec une direction proche de la direction souhaitée?
  • Réponse mathématique : OUI (génériquement)
  • Preuve de ce résultat : N. Simanyi et F. Pène

    UN DE MES RÉSULTATS

    Dans le cas B (deux obstacles), le nombre d'obstacles (différents) rencontrés avant l'instant t est en t sur log(t).

    BILLARD ET THÉORIE DU CHAOS

    Le gaz de Lorentz a un comportement chaotique : les trajectoires de deux particules de positions proches et de directions proches au départ vont se séparer (assez rapidement d'ailleurs). C'est ce comportement chaotique qui permet notamment d'avoir l'ergodicité.

    UNE CERTAINE CONCEPTION DU HASARD

    Ce qui peut paraître paradoxal : si on connaît la position et la vitesse à l'instant initial, on peut calculer de manière explicite la position et la vitesse de la particule à un instant donné mais sur de longs temps, la position et la vitesse de la particule se comportent comme des processus purement aléatoires.
    Ainsi, du hasard apparaît dans ce système déterministe. Mais cela n'est pas si rare que cela.
    En effet, lorsqu'on lance un dé équilibré à six faces de manière honnête (i.e. sans essayer de tricher), on considère que l'on obtient la face 1 avec probabilité 1 sur 6 et de même pour toutes les autres faces. Cela ne veut pas dire qu'il n'existe pas de formules donnant le résultat de cette expérience. On peut penser qu'il en existe une (dépendant de la position du dé et de sa vitesse à l'instant du lancer, mais aussi des caractéristiques de la table sur laquel on le lance, etc.) Mais quand on lance le dé "naïvement", le résultat du lancer semble bien être l'expression du hasard.

    LE BILLARD DE SINAI ASSOCIÉ AU GAZ DE LORENTZ

    Pour étudier le gaz de Lorentz, en raison de la répartition périodique obstacles, il est possible et utile d'étudier le comportement d'une particule ponctuelle dans une cellule carrée élémentaire en identifiant en identifiant les côtés opposés :
    • quand la particule sort par la droite, elle revient par la gauche;
    • quand la particule sort par le haut, elle revient par le bas.
    Ce qui nous donne les domaines et les trajectoires suivants :
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    Les sytèmes correspondants sont des systèmes billard de Sinai. Ces systèmes ont l'avantage de se limiter à des parties bornées du plan.
    Pour retrouver la position dans le gaz de Lorentz dans le plan, il suffit alors d'ajouter les coordonnées de la case dans laquelle se trouve la particule. Cette remarque fondamentale permet de montrer des résultats tels que la récurrence à l'aide de théorèmes limites pour le billard de Sinai.